HS2024_LinAlg_Prüfung

6)b)
$falsch$

Gegenbeispiel: $A = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}]$

\begin{aligned} A^{⊤} A & = [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \end{array}] = I_{1} ✓ \\ (B A)^{⊤} (B A) & = [\begin{array}{c} 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \end{array}] = I_{1} ✓ \\ (A B)^{⊤} (A B) & = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] \times \end{aligned}

$A$ kann also eine $m \times n$ Matrix sein mit $m > n$ , sodass $A$ und $B A$ orthogonal sind, aber $A B$ nicht orthogonal ist.

6)f)
$wahr$

Definition 2.3.0.7. Dimension eines linearen Raumes

Die Dimension eines linearen Raumes $V$ entspricht der Anzahl an Elementen in der Basis von $V$ .

Daher gilt für jede Basis von $k = n$ , was $k \leq n$ erfüllt.