HS2024_LinAlg_Prüfung

5)a)
Wir beweisen die Aussage mit Induktion.

base case: für $n = 1$

\begin{aligned} B & = T A T^{- 1} & (in der Aussage schon angegeben) \end{aligned}

annahme: die Aussage ist wahr für ein beliebiges $n = k$

B^{k} = T A^{k} T^{- 1}

induktionsschritt: für $n = k + 1$

B^{k + 1} = B^{k} B = T A^{k} T^{- 1} T A T^{- 1} = T A^{l + 1} T^{- 1} ✓

Daher Stimmt die Aussage. $◻$

5)d)
Eine Matrix von Rang 1 kann als $u \cdot w^{⊤}$ geschrieben werden, wobei $u$ in unserem Fall schon gegeben ist. Daher:

\begin{aligned} (u w^{⊤}) v & = 4 u \\ u (w^{⊤} v) & = u 4 & ⟹ w^{⊤} v = 4 \\ ⟹ w^{⊤} \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] = 4 \end{aligned}

Ein möglicher Vektor ist zum Beispiel $w = {[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}]}^{⊤}$ , und C ist

u \cdot w^{⊤} = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}] \cdot {[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]}^{⊤} = [\begin{matrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

Um die Singulärwerte zu bestimmen, berechnen wir

C^{⊤} C = [\begin{matrix} 9 & 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \end{matrix}]

Da alle Zeilen von $C^{⊤} C$ identisch sind und $Spur (C^{⊤} C) \neq 0$ , hat $C^{⊤} C$ die Eigenwerte $λ_{1} = 0$ (mit AM 3) und $λ_{2} = Spur (C^{⊤} C) = 36$ (mit AM 1).

Der einzige Singulärwert $\neq 0$ ist $6$ .