HS2024_LinAlg_Prüfung

6)a)

$A^{H}$ ist:

A^{H} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \end{matrix}]

Wenn man $A^{H} A$ berechnet, sieht man bereits beim ersten Eintrag, dass $A^{H} A \neq I$ :

A^{H} A = [\begin{matrix} 4 & \dots & . \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ . & \dots & 4 \end{matrix}]

Die Aussage ist daher falsch.

6)b)

6)c)

\begin{aligned} (A - B)^{2} & = (S D_{1} S^{- 1} - S D_{2} S^{- 1})^{2} \\ = (S (D_{1} - D_{2}) S^{- 1})^{2} \\ = S (D_{1} - D_{2}) S^{- 1} S (D_{1} - D_{2}) S^{- 1} \\ = S (D_{1} - D_{2}) (D_{1} - D_{2}) S^{- 1} & (wegen 1.) \\ = S (D_{1} - D_{2})^{2} S^{- 1} \\ = S (D_{1}^{2} - 2 D_{1} D_{2} + D_{2}^{2}) S^{- 1} & (wegen 2.) \\ = S D_{1}^{2} S^{- 1} - 2 S D_{1} D_{2} S^{- 1} + S D_{2}^{2} S^{- 1} \\ = A^{2} + 2 A B + B^{2} \end{aligned}

Somit stimmt die Aussage.

6.d)

det (A) = det (Q) det (R)

Da $Q$ eine orthogonale Matrix ist, hat sie die Determinante $\pm 1$ . Daher gilt:

det (A) = \pm det (R)

Bemerkung 6.1.0.6)5): Falls A eine Dreiecksmatrix ist, so ist die Determinante von A das Produkt der Diagonaleinträge.

Die Matrix R ist eine obere Dreiecksmatrix, und das Produkt der Diagonaleinträge ist

3 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 1 = 36

Daher ist $det (A) = \pm 36$ und die Aussage ist $falsch$ .