LGS

1.1 Matrizen

Note

Matrizen sollen nicht unter dem Bruchstrich geschrieben werden

Lineare Kombination

$c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{v}}_{n}$

Standardbasis

Standardbasis von $n$ -dimensionalem Koordinatensystem bestehet aus $n$ Vektoren der Form:

{\vec{e}}_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], \dots, {\vec{e}}_{n} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

Sie bilden die Identitätsmatrix $I$

1.2 Gauss-elimination

Note

Die Eliminationsschritte machen nur lineare Kombinationen von Gleichungen

Protokollmatrix

Bildet die Operationen der Gauss-elimination ab. Ist am Anfang eine Diagonalmatrix.

Vertauschen zweier Zeilen:
- In der Protokollmatrix werden die entsprechenden Zeilen vertauscht.
Multiplizieren einer Zeile mit $x \neq 0$ :
- Alle Elemente einer Zeile in der Protokollmatrix werden mit derselben Zahl multipliziert.
Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile:
- Die entsprechende Zeile in der Protokollmatrix wird durch die Summe der ursprünglichen Zeile und dem Vielfachen der anderen Zeile ersetzt. ( #todostimmt das ?)

Rang einer Matrix

Der Rang $r$ einer Matrix $A$ , notiert als $R a n g (A)$ , ist die Anzahl der Pivote der Matrix nach der
Gauss-Elimination.

freie Variablen Spalten sind lineare Kombinationen der jeweils vorigen $r$ Spalten

Lösungsdiskussion

$n_{R} \hat{=}$ Rang
$n_{v} \hat{=}$ Anzahl Variablen

Note

Verträglichkeit $\hat{=}$ Kompatibilitätsbedinungen

$n_{R} = n_{V}$

Verträglichkeit (KB) erfüllt -> genau eine Lösung
nicht erfüllt -> keine Lösung
$n_{R} < n_{V}$
Verträglichkeit (KB) erfüllt -> unendlich viele Lösungen
nicht erfüllt -> keine Lösung

Alle KB müssen erfüllt sein, damit das LGS mindestens eine Lösung hat

Satz 1.2.0.20.

Für ein lineares Gleichungssystem mit Matrix $A \in R^{m \times n}$ und $R a n g (A) = 𝑟$ gilt:
Falls es eine Lösung gibt, ist diese eindeutig dann und nur dann, wenn $𝑟 = 𝑛$ .

Homognes LGS

A x = 0

Ein homogenes LGS hat genau dann nicht triviale Lösungen ( $x \neq 0$ ) wenn $R a n g (A) = r < n$

Reguläre/Singuläre Matrix

$A \in R^{𝑛 \times 𝑛}$ heisst

regulär (voller Rang)
- Rang(A) = 𝑟 = 𝑛
- Für jedes b gibt es genau eine Lösung
- Ax = 0 hat nur x = 0 als Lösung
heisst singulär (nicht voller Rang)
- Rang(A) = 𝑟 < 𝑛
- Für gewisse b gibt es keine Lösung
- Für kein b gibt es eine eindeutige Lösung
- Ax = 0 hat nicht triviale Lösungen

1.3 Operation mit Matrizen

(Hermite) transponierte Matrix

für $A \in R^{m \times n}$

Zeilen und Spalten werden vertauscht -> $A^{⊤} \in R^{n \times m}$
Hermite transponierte Matrix ( $A \in C^{m \times n}$ )
- alle einträge werden zu ihren komplex Konjugiereten

Matrixaddition

alle Einträge der Matrizen an gleicher Position werden addiert

Eigenschaften:

kommutativ
assoziativ
$0$ ist neutrales Element

Matrixmultiplikation

Seien

\begin{array}{r} A \in R^{m \times n} \\ X \in R^{n \times p} \end{array}

multiplication-of-matrices.png|300

So ist die Multiplikation der Matrix A $\times$ B die ZUsammenstellung der Multiplikation von $A$ mit jedem Spaltenvektor von $X$ zu $B$

B \in R^{m \times p}

der Rang von $B$ ist der Kleinste Rang der Faktoren
nicht kommutativ
$I$ ist ein neutrales Element

Eigenschaften:

assoziativ
distributiv bezüglich " $+$ "

spezielle Fälle:
Pasted image 20241007210817.png

Matrixpotenz

Sei $k > 0, k \in N$

A^{0} = I, A^{1} = A^{0} A, \dots, A^{k + 1} = A^{k} A

LGS

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) wird kurz geschrieben als:

A x = b

wobei $A$ die Koeffizientenmatrix, $x$ die Unbekannte und $b$ die rechte Seite ist

1.4 Inverse matrix

A \times A^{- 1} = I

Inverse Matrizen gibt es nur, wenn $A$
- regulär ist $R a n g (a) = n$
- $det (A) \neq 0$
$A^{- 1}$ ist eindeutig

Eigenschaften:

$I^{- 1} = I$
$(A^{⊤})^{- 1} = (A^{- 1})^{⊤}$
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

1.6 LU-Zerlegung

Note

Das Gauss-Jordan-Verfahren wandelt
- Protokollmatrix (Diagonalmatrix) $⟹ L$ (untere Dreiecksmatrix)
- $A ⟹ U$ (obere Dreiecksmatrix)
- wobei

A = L U

Falls bei der Gauss-elimination auch Zeilen vertauscht wurden, bekommt man noch $P$ , die Permutationsmatrix, und es gilt:

P A = L U

A x = b \overset{P |}{⟹} P A x = P b ⟹ L U x = P b

Determinante

Produkt der Diagonalelemente nach der Gauss-Elimination der quadratischen Matrix $A$

Eliminationsmatrix

$E_{i j}$ ist die Matrix, welche man aus der Identitätsmatrix $I$ mit $I_{i j}$ an der Stelle $i j$ in erhält.

$E_{j i} A$ realisiert den Schritt in der Gauss-Elimination, in welchem die $j$ -te Gleichung mit $I_{i j}$
multipliziert wird und zur $i$ -ten Gleichung hinzuaddiert wird.

sparsame LU-Zerlegung

Die Gauss-Elimination von einer beliebigen Matrix $A$ ( $m \times n$ ) lässt sich als LU-Zerlegung schreiben, falls

$R a n g = r < m$

Blockweise Gauss-Elimination

#todo

LDU-Zerlegung

Pasted image 20240927194938.png|400
Da $U$ beliebige Werte auf der Diagonale hat, führen wir $D$ ein, welche die Diagonalwerte von $U$ auf der Diagonale hat. Ausserdem führen wir $\tilde{U}$ ein, sodass

\begin{aligned} U & = D \tilde{U} \\ ⟹ A & = L U = L D \tilde{U} \end{aligned}

(falls die Diagonaleinträge $\neq 0$ )

Cholesky-Zerlegung

Zerlegen man $D$ in zwei Matrizen

D = \sqrt{D} \sqrt{D}

Kombiniert mit der [[#LDU-Zerlegung]]:

A = L D L^{⊤} = \underset{R^{⊤}}{\underset{⏟}{L \sqrt{D}}} \underset{R}{\underset{⏟}{\sqrt{D} L^{⊤}}} = R^{⊤} R

Das $R$ ist eine obere Dreiecksmatrix

1.7 Orthogonale Matrizen

euklidische Form

$x \in R^{n}, | | x | | = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$

die Länge der Matrix

Skalarprodukt

$x, y \in R^{n}, < x, y >= x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n} = x^{⊤} y$

Winkel

$\hat{(x, y)} = \arccos \frac{< x, y >}{| | x | | | | y | |}$

Orthogonalität

Zwei Vektoren $x, y \in R^{n} \neq 0$ sind orthogonal, $x ⊥ y$ wenn

< x, y >= 0

Eine reelle Matrix $n \times n$ heisst orthogonal, wenn

A^{⊤} A = I

- alle Spalten stehen $⊥$ aufeinander und haben Länge 1.
- Orthogonale Matrizen verändern Länge und Winkel nicht.

Orthogonale Operationen zweier Matrizen $A, B \in R^{n \times n}$

A ist invertierbar, $A^{- 1} = A^{⊤}$
$A^{- 1}$ ist orthogonal
$A B$ ist orthogonal
$I$ ist orthogonal

Bsp:

Drehmatrix
Permutationsmatrizen
Spiegelmatrizen

Drehmatrizen

Matrix, welche einen Vektor um $ϕ$ dreht (abbildet).

D (ϕ) = [\begin{matrix} \cos ϕ & - \sin ϕ \\ \sin ϕ & \cos ϕ \end{matrix}]

Um zurückzudrehen, kann man $D (- ϕ)$ anwenden, oder $D (ϕ)^{⊤}$ .
$D (ϕ)^{⊤} D (ϕ) = I$ , d.h. die Drehmatrix ist orthogonal.
kann für 𝑛 Dimensionen erweitert werden:
Die Matrix, die eine Rotation in der 𝑖- 𝑗 Ebene eines 𝑛 dimensionalen Raumes ausführt, gleicht überall der Identitätsmatrix, ausser in den 𝑖-ten, 𝑗-ten Spalten und Zeilen, in denen die Rotationsmatrix für den zweidimensionalen Raum eingefügt wird.
- Dadurch kann eine komplexe Drehung in mehrere einfache Drehungen im 2D-Raum aufgeteilt werden.

Die Drehung in der Ebene $i - j$ ist:
Pasted image 20241007215050.png|200
wobei

\begin{array}{r} r = \sqrt{x_{i}^{2} + x_{j}^{2}} \\ \cos ϕ = \frac{x_{i}}{r} \\ \sin ϕ = \frac{x_{j}}{r} \end{array}

Spiegelung mittels Householder-Matrix

Pasted image 20241007215447.png|300
Der Skalar $a = u^{⊤} x$ . Mit ihm berechnet ist $Q x$ (und auch $Q$ alleine)

Q = I - 2 u u^{⊤}

falls $| | u | | \neq 1$ (nicht Norm 1), dann muss mit $\frac{u}{| | u | |}$ gerechnet werden.

Die Householder-Matrix ist orthogonal

QR-Zerlegung

Um Rundungsfehler zu vermeiden, braucht es eine neue Zerlegungsart. Die QR-Zerlegung ist die Zerlegung einer Matrix $A$ in eine orthogonale Matrix $Q$ und eine obere
Dreiecksmatrix $R$ , so dass $A = Q R$ .

\begin{aligned} A x & = b \\ Q R x & = b \\ R x & = Q^{⊤} b \end{aligned}

Dabei muss die Drehmatrix für jede 0 einzeln angewendet werden.
Die Zerlegung mit Spiegelung erzeugt alle Nullen in einer Spalte gleichzeitig.

#todo Satz 1.8.0.6

2 Lineare Räume/Vektorräume

2.1 Raum und Unterraum

Def Vektorraum

Ein reeller Vektorraum / linearer Raum $V$ ist eine Menge mit zwei Operationen:

Addition von Elementen aus $V$

a, b \in V : a + b \in V

Multiplikation mit Skalaren
$α \in R, a \in V : α * a \in V$

Eigenschaften:

Kommutativität
Assoziativität
Es existiert ein Nullvektor
für jedes $a \in V$ gibt es ein ( $- a$ ), sodass $a + (- a) = 0$
Kompatibilität mit der Multiplikation mit Skalaren
Distributivität (für Sklare und Vektoren)
Es existiert ein Neutralemenent $a \in V, 1 * a = a$

Funktionen in linearen Räumen

Bsp: Der Raum der $s$ -Mal stetig differenzierbaren Funktionen im Intervall $[a, b]$ .

V = C^{s} [a, b] = {f : [a, b] \to R, f ist s-mal stetig differenzierbar}

Mit dieser $C$ -Notation können verschiedene Mengen, deren Elemente Funktionen sind, definiert werden. Die Mengen sind ineinander verschachtelt:

C^{\infty} \subset \dots \subset C^{s = 1} \subset C^{s} \subset \dots \subset C^{1} \subset C^{0}

"+" von Funktionen:
Für $f, g \in V$ , $f, g : [a, b] \to R$ , wobei $f, g$ k-mal differentierbar und stetig

f + g : [a, b] \to R, (f + g) (t) = f (t) + g (t) für alle t \in [a, b]

"*" von Funktionen:
Für $α \in R$ , $a \in V$ :

α * f : [a, b] \to R, (α f) (t) = α f (t) für alle t \in [a, b]

Beweis Linearer Raum

Überprüfen, ob addition und multiplikation erfüllt ist (in derselben Menge bleibt) -> linearer Raum

Beispiele

Räume von Polynomen

P_{n} = {p Polynome vom Grad \leq n - 1}

p \in P_{0} : p (t) = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^{2} + \dots + a_{n - 1} t^{n - 1} mit a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in R

Raum der quadratisch integrierbaren Funktion $L^{2}$

L^{2} [0, 1] = {f : [0, 1] \to R, \int_{0}^{1} | f (t) |^{2} d t existiert}

wobei $C_{0} \subset L^{2}$ , da die Mitglieder von $L^{2}$ weniger Glattheit haben müssen

Unterraum

Def. Unterraum

Sei $V$ ein linearer Raum mit $U \subseteq V, U \neq \emptyset$ . Dann heisst $U$ Unterraum von $V$ , falls gilt:

wenn $x, y \in U$ , dann auch $x + y \in U$
wenn $α \in R, x \in U$ , dann auch $α x \in U$

Der Unterraum enthält immer das Element $0$
jede beliebige lineare Kombination von Elementen von $U$ liegt in $U$
Die Verschachtelung von linearen Räumen:

P_{1} \subset \dots \subset P_{n} \subset P_{n + 1} \subset C^{\infty} \subset \dots \subset C^{s - 1} \subset C^{s} \subset \dots \subset C^{0} \subset L^{2}

Untervektorraum prüfen

gibt es einen Nullvektor
ist $U$ abgeschlossen unter Addition
ist $U$ abgeschlossen unter Multiplikation (mit Skalar)

alternativ: Falls $U$ die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist, ist es ein Unterraum, z.B.

U = {x \in R^{n} | A x = 0}

2.2 Erzeugendensystem

Def Lineare Kombination

Eine lineare Kombination der Elemente $v_{1}, v_{2}, \dots v_{n}$ eines lineares Raumes $V$ ist

x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2} + \dots + x_{n} v_{n} \in V

mit Skalaren $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ .
Eine lineare Kombination $b \in V$ lässt sich mithilfe der Elemente von $V$ und gewählten Skalaren darstellen.

Def Span

Wir bezeichnen die Menge aller linear Kombinationen von Elementen ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}} \subset V$ mit

U = S p a n {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}} = {x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2} + \dots + x_{n} v_{n} \in V mit x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} Skalare}

Wir sagen, dass $U$ aufgespannt/erzeugt wird von $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \in V$

Bild einer Matrix

eine Matrix $\times$ Vektor Multiplikation ist eine lineare Kombination der Spaltenvektoren der Matrix:
$A \in R^{m \times n}$ , $x \in R^{n}$

A x = x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n} \in R^{m}

wir können es auch als Abbildung betrachten:

\begin{aligned} A : & R^{n} \to R^{n} \\ x \mapsto A x \end{aligned}

Def Bild

Die Menge aller Bildelemente einer Abbildung heisst Bild der Abbildung.

Die Abbildung $A$ ist das Bild der Matrix $A$

\begin{aligned} Bild A & = {y \in R^{m} : y = A x, x \in R^{n}} \\ = {y \in R^{m} : y = x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n}} \\ = S p a n {a_{1}, \dots a_{n}} \end{aligned}

-> Das Bild von $A$ wird von deren Spalten erzeugt

Erzeugendensystem

Def Erzeugendensystem

Falls sich jedes $b \in V$ eines linearen Raumes als lineare Kombination von $v_{1}, \dots v_{n}$ schreiben lässt, ist diese Menge das Erzeugendensystem von $V$ :

{v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}} \subset V

Kern einer Matrix

Def Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix $A$ ( $m \times n$ ) ist die Menge der Vektoren $x \in R^{n}$ , sodass

Kern A = {x \in R^{n} sodass A x = 0}

Pasted image 20241012175206.png|200

Das ist die Lösungsmenge eines homogenen LGS $A x = 0$
Kern $A$ ist ein Unterraum von $R^{n}$

#todo Berechnung von Bild, Kern im Skript anschauen
-> zu lang zum übertragen in Zusammenfassung
https://moodle-app2.let.ethz.ch/pluginfile.php/2131293/mod_resource/content/7/LAVG.pdf#section.2.3

endlichdimensionale lineare Räume

Def Endlichdimensionale lineare Räume

Ein linearer Raum $V$ heisst endlichdimensional wenn es eine endliche Menge ${v_{1}, \dots, v_{n}} \subset V$ gibt, die erzeugend für $V$ ist.

$R^{2}, P_{n}$ sind endlichdimensionale Räume
$P, C^{k}, L^{2}$ sind nicht endlichdimensional

2.3 Lineare Unabhängigkeit und Basis

Für ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}} \subset V$ linearer Raum, möchten wir die Menge haben, mit der sich alle anderen Elemente erzeugen lassen. Falls sich ein Element durch andere Elemente erzugen lässt, liefert es keine neuen Information, weshalb wir es ausschliessen können.

Def Lineare Unabhängigkeit

Die elemente $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ eines linearen Raumes sind lineare unabhängig, falls

x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2} + \dots + x_{n} v_{n} = 0 ⟹ x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0

Das gegenteil ist linear abhängig.

Durch die Gauss-elimination lässt sich herausfinden, ob die Spalte n einer Matrix linear (un)abhängig sind. Nur ween der Rang der Matrix voll ist, ist sie linear unabhängig.

Satz 2.3.0.4. Linear unabhängige Spalten einer Matrix

Die Spaltenvektoren $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k} \in R^{n}$ einer $n \times k$ Matrix $A$ sind linear unabhängig genau dann wenn der Rang der Matrix $k \leq n$ ist.

Def 2.3.0.5 Basis

Eine linear unabhängiges Erzeugendensystem eines linearen Raumes $V$ heisst Basis von $V$ .

Bsp

kanonische Basis/Standardbasis: ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$
Monome $p_{0}, p_{1}, \dots, p_{n - 1}$ bilden eine Basis $P_{n} = {p; p polynom von Grad \leq n - 1}$

Def 2.3.0.7. Dimension linearer Raum / Grösse Basen

$\dim (V) = Anzahl Elementen in Basis$

verschiedene Basen haben gleich viele Vektoren
Wenn eine Basis in V $\infty$ viele Elemente hat, dann ist $V$ $\infty -$ dimensional!

#todo beweis anschauen, zusammenfassen

Satz 2.3.0.10. Grösse von erzeugenden Systemen in einem endlichdimensionalen Raum

Sei $V$ ein linearer Raum mit Dimension $n$ , dann:

sind mehr als $n$ Elemente von $V$ linear abhängig.
sind weniger als $n$ Elemente von $V$ nicht erzeugend.
sind $n$ Elemente von $V$ linear unabhängig genau dann, wenn sie auch erzeugend sind.

2.4 Fundamentalsatz der linearen Algebra - Teil 1

Pasted image 20241018101335.png|600

Satz 2.4.0.1 Basis im Bild A

Sei $A = L U$ die LU-Zerlegung der Matrix $A = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}] \in R^{n \times k}$ . Wir notieren die Indizes der Pivotspalten in $U$ mit $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{r}$ . Die dazugehörigen Spalten $a_{1_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{r}}$ aus $A$ linear unabhängig. Alle anderen Spalten von A lassen sich als lineare Kombinationen von $a_{1_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{r}}$ schreiben, welche somit eine Basis im Bild $A$ bilden.

-> Oder: $a_{1_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{r}}$ sind linear unabhängig

Bem:

\begin{aligned} d i m (A) & = d i m (U) = r = R a n g (A) \\ B i l d (A) & \neq B i l d (U) \end{aligned}

Satz 2.4.0.4 Dimension von Kern A

Sei die $n \times k$ Matrix $A$ , $k \times n$ Matrix $A^{⊤}$ von Rang $r$ . Dann:

\begin{aligned} d i m (Kern A) & = k - r \\ d i m (Kern A^{⊤}) & = n - r, d i m (Bild A^{⊤}) = r \end{aligned}

Def 2.4.0.6 Orthogonalität von Unterräumen

Seien $U$ und $V$ Unterräume von $R^{k}$ . Wir sagen, dass $U$ orthogonal auf $V$ stehe, notiert mit $U ⊥ B$ , falls beliebige Vektoren $u$ aus $U$ und $v$ aus $V$ orthogonal sind ( $u ⊥ v$ ), d.h. mit Skalarprodukt in $R^{k}$ :

< u, v >= u^{⊤} v = 0

Pasted image 20241026201529.png|500

Satz 2.4.0.7 Fundamentalsatz der linaren Algebra - Teil I.

Sie $A$ eine $n \times k$ Matrix vom Rang $r$ . Dann hat die $k \times n$ Matrix $A^{⊤}$ auch Rang $r$ und:

Dimensionen der Unterräume:

\dim (Bild A) = r, \dim (Kern A) = k - r, \dim (Bild A^{⊤}) = r, \dim (Kern A^{⊤}) = n - r

Dimensionssatz:

\begin{array}{r} \dim (Kern A) + \dim (Bild A^{⊤}) = k \\ \dim (Kern A^{⊤}) + \dim (Bild A) = n \end{array}

orthogonale Unterräume:

Kern A ⊥ Bild A^{⊤}, Bild A ⊥ Kern A^{⊤}

Bem: Zudem kann jedes $x \in R^{k}$ eindeutig in zwei orthogonale Komponenten zerlegt werden:

x = u + v, u \in Kern A, v \in Bild A, u ⊥ v

Theorem:

$Kern (A^{⊤} A) = Kern A$
$Bild (A^{⊤} A) = Bild (A^{⊤})$

Bestimmung von lin. Abhängigkeit

Jede Matrix kann durch Gauss-Elimination (und vertauschung von Zeilen und Spalten) in die folgende Form gebracht werden:

P_{Z} A P_{S} [\begin{matrix} \begin{array}{cc} \begin{matrix} 1 & 0 & \dots \\ 0 & 1 \end{matrix} & * \\ 0 & 0 \end{array} \end{matrix}]

$P_{Z}$ ist dabei die Zeilen-Prozessmatrix, und $P_{S}$ die Spalten-Prozessmatrix

2.5 Koordinaten und Basiswahl

Satz 2.5.0.1: Jedes element eines linearen Raumes $x \in V$ lässt sich als lineare Kombination der Basis von $V$ eindeutig darstellen.

Def 2.5.0.2 Koordinatenabbildung und Koordinaten

Sei $V$ ein linearer raum mit $\dim (V) = n$ , $B$ dessen Basis

\begin{aligned} k_{B} : V & \to R^{n} \\ x = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} & \mapsto k_{B} := [\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}] \end{aligned}

$k_{B}$ ust die Koordinatenabbildung in der Basis $B$ , $x_{1}, \dots, x_{n}$ sind die Koordinaten von $x$ inder Basis $B$ .

#todo Beispiele in Aufschrieb W5, letzte zwei Seiten

3 Lineare Abbildungen

Def 3.1.0.1 Lineare Abbildung

$X, Y$ lineare Räme, $F : X \to Y$
$F$ ist linear, falls

$F (x_{1} + x_{2}) = F (x_{1}) + F (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in X$
$F (a x) = a F (x)$ für $x \in X$ , $a$ Skalar

-> ein linearer raum ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation

Bsp Matrixabbildung

A : R^{k} \to R^{n} mit A (x) = A x

$A$ : $k \times n$ Matrix

#todo fetigschreiben

Bem Bei Aufgaben mit Isomorphismen/Automorphismen erkennen muss man vor allem (einzig) die Dimensionen anschauen!

4 Norm und Skalarprodukt in linearen Räumen

4.1 Normierte lineare Räume

Def 4.1.0.1. Norm

Sei 𝑉 ein linearer Raum. Die Funktion $| | \cdot | | : V \to [0, \infty [$ heisst Norm in 𝑉, falls sie folgende Eigenschaften erfüllt:

Aus $| | v | | = 0$ folgt $v = 0$ .
-> Der Einzige Vektor von Länge $0$ is der Nullvektor
Sei $a$ ein Skalar und $v \in V$ beliebig. Dann gilt: $| | a v | | = | a | | | v | |$ .
Für beliebige $v, w \in V$ gilt: $| | v + w | | \leq | | v | | + | | w | |$ (Dreiecksungleichung).

Def 4.1.0.2 Normierte Lineare Räume

Ein linearer Raum $V$ , welcher eine Norm $| | \cdot | |$ besitzt, heisst normierter linearer Raum

Bsp

euklidische Norm: $| | x | |_{2} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} = \sqrt{x^{⊤} x}$
Normen in $R^{2}$ : $1 \leq p < \infty$ fest: $| | x | |_{p} = (| x_{1} |^{p} + \dots + | x_{n} |^{p})^{1 / p}$
Norm in L $^{2}$ : $L^{2} (0, 1)$ : $| | f | |_{2} = \sqrt{\int_{0}^{1} | f (t) |^{2} d t}$

Die Bedeutung der Norm eines Vektors ist die Länge. Ein Ball sieht in den verschiedenen Normen anders aus, weil die jede Norm eine andere Länge des Vektors hat:

B (0, r) = {x \in V; | | x | | \leq r}

Pasted image 20241102130511.png|300

Satz 4.1.0.4 Cauchy-Bunjakowski-Schwarz Ungleichung

$v^{⊤} w \leq | | v | | | | w | |$

Satz 4.1.0.6 Äquivalenz der Normen

Alle Normen in $R^{d}$ sind äquivalent. In anderen Worten:
Seien $| | \cdot | |$ und $| | | \cdot | | |$ Normen in $R^{d}$ , dann gibt es eine Konstante $C \geq 1 (bem: C = C (d))$ , abhängig von der Dimension $d$ , so dass

\frac{1}{C} | | v | | \leq | | | v | | | < C | | v | | für alle v \in R^{d}

Def 4.1.0.8 Matrixnorm aus der Vektornorm

DIe Vektornorm $| | \cdot | |$ in $R^{n}$ induziert im linearen Raum der $m \times n$ Matrizen eine Norm:

| | A | | = max_{| | x | | = 1} | | A x | |

Bsp Matrixnormen:

Zeilensummen-Norm (maximum der Zeilensumme):

| | A | |_{\infty} = max_{| | x | |_{\infty} = 1} | | A x | |_{\infty} = max_{i = 1, \dots, n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{j i} |

Spaltensummen-Norm (maximum der Spaltensumme):

| | A | |_{1} = max_{| | x | |_{1} = 1} | | A x | |_{1} = max_{j = 1, \dots, n} \sum_{i = 1}^{n} | a_{j i} |

Frobenius-Norm (wurzel der diagonalquadrate):

| | A | |_{F} = \sqrt{\sum_{i, j = 1}^{n} | a_{j i} |^{2}}

Spektralnorm ( $λ$ ist der grösste Eigenwert von $A^{H} A$ ):

| | A | |_{2} = max_{| | x | |_{2} = 1} | | A x | |_{2} = \sqrt{λ_{max} (A^{H} A)}

4.2 Skalarprodukt in linearen Räumen

Def 4.2.0.1 Skalarprodukt

Sei $V$ ein inearer Raum.
EIn Skalarprodukt $< ., . >$ ist eine FUnktion von zwei Variablen in diesem Raum $V$

< ., . >: V \times V \to R

welche die folgenden drei Eigneschaften erfüllt.:

Die funktion ist linear im zweiten Argument:

< x, a y + b z = a < x . y > + b < x, z >

für alle $x . y . z \in V$ und $a, b$ Skalare
2. Die Funktion ist Symmetrisch:

< x, y >=< y, x > über R

< x, y >= \overset{―}{< y, x >} über C

Die funktion ist positiv definit:

< x, x >\geq 0 für alle x \in V

< x, x \geq 0 ⟹ x = 0

falls von (3) nur ein punkt erfüllt ist $⟹$ positiv semi-definit

Def 4.2.0.4 Norm aus einem Skalarprodukt

Man sagt, dass eine Norm $| | \cdot | |$ aus einem Skalarprodukt $< ., . >$ kommt, falls

| | x | | = \sqrt{< x, x >}

für alle Elemente $x$ eines linearen Raumes $X$ .

Def 4.2.0.5 Orthogonalität von Elementen eines linearen Raumes mit Skalarprodukt

Sei $x, y \in V$ , wobei $V$ ein linearer Raum mit einem Skalarprodukt $< ., . >$ ist. Wir sagen, dass $x$ und $y$ orthogonal $(x ⊥ y)$ sind, falls $< x, y >= 0$

Bsp: A-Skalarprodukt

< u, v >_{A} \overset{d e f}{=} u^{⊤} A v \in R

wobei $A = Q^{⊤} Λ Q$ , $Λ$ eine Diagonalmatrix ohne $0$ in der Diagonale und $Q$ eine orhogonale quadratische Matrix.

Orthogonale Projektionen

Bem: Siehe Def 4.2.0.5 für orthogonalität

Def 4.2.0.9 Orthogonale Projektion auf einen Vektor

Sei $V$ ein linearer Raum mit einem Skalarprodukt $< ., . >$ . So ist die orhogonale Projekiton $P_{y} x$ von x $x \in V$ auf $y \in V$ , für $y \neq_{0}$ , definiert als

P_{y} x = \frac{< y, x >}{< y, y >} y

Bem:

Bild (P_{y}) = Span {y}

Satz 4.2.0.11 Schwarz'sche Ungleichung

Sei $V$ ein linearer Raum mit einem Skalarprodukt $< ., . >$ , dann gilt folgende Ungleichung für alle Elemente $x . y \in V$ :

| < x, y > | \leq \sqrt{< x, x >} \sqrt{< y, y >}

Dies kann alternativ auch mit der aus dem Skalarprodukt kommenden Norm $| | \cdot | |$ geschrieben werden:

| < x . y > | \leq | | x | | | | y | |

2.0.12 Winkel in einem linearen Raum

Der Winkel $\hat{., .}$ zwischen zwei Elementen 𝑥 und 𝑦 eines linearen Raumes 𝑉 mit Skalarprodukt $< ., . >$ ist definiert als

\hat{x, y} = \arccos \frac{| < x, y > |}{| | x | | | | y | |}

Satz 4.2.0.13. Pythagoras

Sei $V$ ein linearer Raum mit Skalarprodukt $< ., . >$ und einer aus diesem Skalarprodukt kommende Norm $| | \cdot | |$ .
Für zwei Elemente 𝑥 und 𝑦, welche orthogonal aufeinander stehen ( $x ⊥ y d.h. < x, y >$ ), gilt

| | x + y | |^{2} = | | x - y | |^{2} = | | x | |^{2} + | | y | |^{2}

Einheitsvektor und orthonormale Basen

Def. 4.2.0.14 Einheitsvektor

Satz 4.2.0.15 Orthogonale Vektoren sind linear unabhängig

Seien $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ Einheitsvektoren in einem linearen Raum 𝑉 mit einer Norm $| | \cdot | |$ , die aus dem Skalarprodukt $< ., . >$ kommt.
Falls die Einheitsvektoren $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ paarweise orthogonal sind, so sind sie auch linear unabhängig.

Als direkte Konsequenz davon:

Satz 4.2.0.16 Orthonormale Basis

$n$ paarweise orthogonale Einheitsvektoren in einem linearen Raum der Dimension $n$ bilden eine orthonormale Basis in diesem Raum.

Bem 4.2.0.17 (Berechnung der Koordinaten in einer orthonormalen Basis)
#todo aufschreiben

Bem 4.2.0.19 (Projektoren auf die Elemente einer orthonormalen Basis)

\begin{aligned} v & = P_{e_{1}} v + P_{e_{2}} v + \dots + P_{e_{n}} v \\ v & = \sum_{j = 1}^{n} < b_{j}, v > b_{j} \\ v & = \sum_{j = 1}^{n} P_{b_{j}} v \end{aligned}

Satz 4.2.0.20 Parseval

Das Skalarprodukt in $V$ lässt sich über das euklidischen Skalarprodukt in $R^{n}$ berechnen:

< x, y \geq x^{H} y =< x, y >

Bem 4.2.0.21 (Projektion auf einen Unterraum)
#todo fertigschreiben

4.3 Gram-Schmidt-Algorithmus

Satz 4.3.0.1. Gram-Schmidt

Wenn 𝑉 ein linearer Raum mit Basis ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ und Skalarprodukt $< ., . >$ ist, dann gibt es eine orthonormale Basis (ONB) ${q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}}$ für $V$ , so dass $Span {q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}} = Span {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ für $1, 2, \dots, n$ ist.

d.h.

ein endlich-dimensionaler Raum besitzt immer eine orthonormale Basis
die orthogonalen Vektoren bilden verschachtelte Räume

#todo: Der Beweis zum Gram-Schmidt-Algorithmus zeigt, wie man orthogonale Vektoren berechnet -> anschauen

Beweis
Bedignungen für $q_{1}$ sind, dass es Norm 1 haben muss, und den gleichen Unterraum wie $v_{1}$ aufspannen muss, d.h.

\begin{aligned} q_{1} & = \frac{1}{| | v_{1} | |} v_{1} \\ v_{1} & = | | v_{1} | | q_{1} =< q_{1}, v_{1} > q_{1} \end{aligned}

Pasted image 20241110133922.png
Nun für $q_{2}$ :

\begin{aligned} c_{2} & = v_{2} - P_{q_{1}}^{⊤} v_{2} = v_{2} - < q_{1}, v_{2} > q_{1} \\ q_{2} & = \frac{c_{2}}{| | c_{2}} \\ ⟹ c_{2} = | | c_{2} | | q_{2} = ⟨ q_{2}, v_{2} ⟩ q_{2} \\ ⟹ v_{2} = ⟨ q_{1}, v_{2} ⟩ q_{1} + ⟨ q_{2}, v_{2} ⟩ q_{2} \end{aligned}

Und so auch für $q_{n}$ :

\begin{aligned} c_{k} & = v_{k} - P_{S p a n {q_{1}, \dots, q_{k - 1}}}^{⊤} v_{k} = v_{k} - ⟨ q_{1}, v_{k} ⟩ q_{1} - \dots - ⟨ q_{k - 1}, v_{k} ⟩ q_{k - 1} \\ q_{k} & = \frac{c_{k}}{| | c_{k} | |} \\ ⟹ c_{k} = | | c_{k} | | q_{k} = ⟨ q_{k}, v_{k} ⟩ q_{k} \\ ⟹ v_{k} = ⟨ q_{1}, v_{k} ⟩ q_{1} + \dots + ⟨ q_{k - 1}, v_{k} ⟩ q_{k - 1} \end{aligned}

QR-Zerlegung mittels Gram-Schmidt
Sei $A$ eine Matrix mit der Basis ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ . Dann können wir $v_{k}$ als lineare Kombination schreiben:

v_{k} = (q_{1}^{H} v_{k}) q_{1} + (q_{2}^{H} v_{k}) q_{2} + \dots + (q_{k}^{H} v_{k}) q_{k}

Für alle Elemente $v$ in der Basis können wir dann schreiben:

\underset{A_{k} (n \times k)}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{k} \end{matrix}]}} = \underset{Q_{k} (n \times k)}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} q_{1} & q_{2} & \dots & q_{k} \end{matrix}]}} = \underset{R_{k} (k \times k)}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} q_{1}^{H} v_{1} & q_{1}^{H} v_{2} & \dots & q_{1}^{H} v_{k} \\ 0 & q_{2}^{H} v_{2} & \dots & q_{2}^{H} v_{k} \\ \dots \\ 0 & 0 & \dots & q_{k}^{H} v_{k} \end{matrix}]}}

Dann ist $A = Q R$ , wobei $Q$ orthogonal und $R$ obere Dreiecksmatrix.

Vorzeitiges Ende des Gram-Schmidt-Algorithmus

Falls $| | c_{k} | | = 0$ , bricht der ganze Algorithmus zusammen, weil eine lineare Kombination von $v_{1}, \dots, v_{k - 1}$ nicht linear abhängig ist.
-> weg, um lineare Unabhängigkeit einfach zu überprüfen

Bem:
Bei numerischen Berechnungen hat Gram-Schmidt ab $n \geq 5$ erhebliche Rundungsfehler (float). Es gibt einen modifizierten Gram-Schmid-Algorithmus, bei dem der Rundungsfehler nur $\approx$ linear zunimmt.

4.4 Projektoren

Aus Kapitel 4.2 wissen wir, was ein orhogonaler Projektor ist:

P_{y}^{⊤} : V \to V; P_{y}^{⊤} x = \frac{⟨ y, x ⟩}{⟨ y, y ⟩} y

Den wir als Matrix $P_{y}$ schreiben können, falls der lineare Raum $R^{n}$ oder $C^{n}$ :

P_{y}^{⊤} = \frac{y}{| | y | |} \frac{y^{h}}{| | y | |}

Def 4.4.0.1. Projektor

Sei 𝑉 ein linearer Raum. Eine lineare Abbildung $P : V \to V$ heisst Projektor falls

P^{2} = P

Def 4.4.0.2. Orthogonale und schiefe Projektoren

Der Projektor $P : V \to V$ im linearen Raum 𝑉 mit dem Skalarprodukt $⟨ ., . ⟩$ heisst orthogonaler Projektor, falls

x - Px ⊥ Bild P für alle x \in V

sonst heisst er schiefer Projektor.

Satz 4.4.0.3. Orthogonale und schiefe Projektoren

Der Projektor $P : V \to V$ im linearen Raum $V$ mit dem Skalarprodukt $⟨ ., . ⟩$ ist ein orthogonaler Projektor genau dann, wenn

⟨ x, P y ⟩ = ⟨ P x, y ⟩ für alle x, y \in V

d.h. wenn der Projektor $V$ ein selbstadjungierter Operator ist.

Satz 4.4.0.4. Orthogonale und schiefe Projektoren

Die Matrix $P$ ist ein orthogonaler Projektor genau dann, wenn

P^{2} = P und P^{H} = P

Falls nur die Bedingung $P^{2} = P$ erfüllt ist, so ist $P$ ein schiefer Projektor.

Bsp
#todo anschauen, wie man skizze von schiefem Projektor aussieht

Def 4.4.0.7. Orthogonaler Projektor auf einen Unterraum

Sei $U$ eine $n \times k$ Matrix mit orthogonalen Spaltenvektoren $q_{1}, \dots, q_{k}$ welche Norm $1$ haben. Der orthogonale Projektor $P$ welche auf den Unterraum $Span {q_{1}, \dots, q_{k}}$ projiziert ist

P = U U^{H}

die folgenden Definition wurden nicht behandelt:

Def 4.4.0.7. Orthogonaler Projektor auf einen Unterraum

Sei $U$ eine $n \times k$ Matrix mit orthogonalen Spaltenvektoren $q_{1}, \dots, q_{n}$ welche Norm 1 haben. Der orthogonale Projektor $P$ welche auf den Unterraum $S p a n {q_{1}, \dots, q_{k}}$ projiziert ist

P = U U^{H}

Def 4.4.0.9. Schiefer Projektor auf einen Unterraum

Wenn $U$ und $V$ zwei Matrizen mit der Eigenschaft $V^{H} U = I$ sind, dann kann ein schiefer Projektor $P$ , welcher auf den Unterraum der Spaltenvektoren von $U$ projiziert, definiert werden als

P = U V^{H}

Zusatz: Lineares Funktional

Lineares Funktional

Sei $V$ lin. Raum über $R / C$ . Das lineare Funktional ist dann

φ : V \to R / C (linear)

Bsp $V = C [0, 1]$
$φ : C [0, 1] \to R$ , $φ (f) = f (\frac{1}{2})$

Theorem (Riesz)

$V, < ., . >$ , dim $V < \infty$ . Sei $φ : V \to R / C$ ein lineares Funktional.

Es gibt ein eindeutiges $w \in V$ sodass $φ (w) =< w, v >$ für alle $v \in V$
Sei $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ONB in $V$ . Dann

w = \sum_{i = 1}^{n} \overset{―}{φ (b_{i})} b_{i}

-> $w$ hängt nicht von der Wahl der Basis ab, da es dann nicht eindeutig wäre

Bsp

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] \in R^{3}, φ (v) = v_{1}

ONB: ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$

w = φ (\vec{e_{1}}) \vec{e_{1}} + φ (\vec{e_{2}}) \vec{e_{2}} + φ (\vec{e_{3}}) e_{3} = \vec{e_{1}}

#todo andere Beispiele im Aufschrieb Woche 8 anschauen

Zusatz: Die adjungierte Abbildung

Seien $V, < ., . >_{v}$ , $W, < ., . >_{w}$ lineare Räume über $R / C$ mit s.p.

Def adjurgierte Abbildung

$f : W \to V$ ist die adjungierte Abbildung einer Abbildung $T : V \to W$ , wenn

< T_{v}, w >_{w} =< v, f (w) > v

für alle $v \in V$ , $w \in W$

Bem $f, g : W \to V$ und $< v, f (w) >=< v, g (w) >$ für alle $v \in V, w \in W$ , dann
$f = g$

Konsequenz: $T : V \to W$ lin. Abbildung
=> es gibt maximal eine adj. Abbildung!

#todo beispiele im Aufschrieb W8 anschauen

Theorem

Wenn $T : V \to W$ lin. Abbildung hat eine adjungierte $T^{*}$ :
dann ist $T^{*}$ linear.

Nicht jede lin. Abb. hat eine adj. Abbildung!

Theorem

$V, < ., . >_{v}, W, < ., . >_{w}, \dim V = n, \dim W = m$
${v_{1}, \dots, v_{n}}$ ONB in $V$ , ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ ONB in $W$

F : V \to W lim . ⇝ F = [< F v_{j}, w_{j}]

$F$ hat eine adj. Abbildung
$F^{*}$ ist von $F^{H}$ representiert

5 Ausgleichsrechnung

Berechnen der bestmöglichen Approximation von komplexen Systemen

5.1 Least Squares

Def 5.1.0.2. Lineare Ausgleichsrechnung als lineares Gleichungssystem

Sei eine $m \times n$ Matrix $A$ und der Vektor $b$ mit $m$ einträgen. Gesucht ist ein $\hat{x}$ , sodass

| | A \hat{x} = b | |_{2} = min_{x \in R^{n}} | | A x - b | |_{2}

Bsp lineares Modell

Parameter: $d \in R^{s}, c \in R$
Variablen $b_{1}, \dots, b_{n}$ zu $t_{1}, \dots, t_{n}$

Bei 1 Dimension: $b_{k} = d t_{k} + c$
mit Messfehlern: $r_{k} = d t_{k} + c - b_{k}$

r ist Residuum (vektor)

According to def 5.1.0.2, we want to minimize the euclidean norm of the residuum:

min_{p \in R^{n}, q \in R} {| r_{1} |^{2} + \dots + | r_{m} |^{2}} = min_{p \in R^{n}, q \in R} \sum_{i = 1}^{s} | p^{⊤} t_{i} + q - b_{i} |^{2} = min_{p \in R^{n}, q \in R} \sum_{i = 1}^{s} | 1 \cdot q + t_{i}^{⊤} p + q - b_{i} |^{2}

we can also write the equations as $A x - b = r$ , where

\begin{aligned} x & = [\begin{array}{c} q \\ p \end{array}] \in R^{n} \\ A & = [\begin{array}{c} 1 & t_{1}^{⊤} \\ 1 & t_{2}^{⊤} \\ ⋮ \\ 1 & t_{m}^{⊤} \end{array}], b = [\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{array}] \end{aligned}

which can be minimized:

min_{p \in R^{n}, q \in R} | | A x - b | |_{2}

5.2 Lösung mit der Normalengleichung

#todo herleitung lesen

Das LGS aus 5.1 kann folgendermassen mit der Normalengleichung gelöst werden.

Def 5.2.0.1 Normalengleichung

$A^{⊤} A x = A^{⊤} b$

Satz 5.2.0.2. Lösung der Ausgleichsrechnung mit der Normalengleichung

Sei eine Matrix $S \in R^{m \times n}$ gegeben. Falls der Rang dieser Matrix gleich $n$ ist, so ist $A^{⊤} A$ invertierbar.
In diesem Fall hat die Normalengleichung also genau eine Lösung, die die Lösung des linearen Ausgleichsproblems ist.

Probleme mit der Normalengleichung

normalerweise stimmt $Rang A = n$ nicht -> Normalengleichung nicht anwendbar
Falls Spalten/Zeilen numerisch abhängig sind, gibt es grosse Fehler im Ergebnis

-> Stattdessen wird normalerweise die Singulärwertszerlegung benutzt
#todo link einfügen

5.3 Lösung mit der QR-Zerlegung

Alternativ zur Normalengleichung kann man die QR-Zerlegung verwenden:

A = Q R = Q [\begin{matrix} \hat{R} \\ 0 \end{matrix}]

Wenn $A \in R^{m \times n}$ Rang $n$ hat, hat $R$ gleichen Rang -> $\hat{R}$ ist invertierbare obere Dreiecksmatrix mit ersten $n$ Zeilen. Q ist orthogonal, $m \times m$ . Dann haben wir:

min_{x \in R^{n}} | | A x - b | |_{2}^{2} = min_{x \in R^{n}} | | Q R x - Q Q^{H} b | |_{2}^{2} = min_{x \in R^{n}} | | R x - Q^{H} b | |_{2}^{2}

da $Q^{H} Q = I$ .
Nun können wir ausrechnen:

\hat{R} x = Q^{H} b

#todo ausführlichere Erklärung lesen

???

orthogonale Matrizen haben die Eigenschaft

| | Q x | |^{2} = | | x | |^{2} (?)

6 Determinanten

Deteminante von einer $2 \times 2$ Matrix:

det (A) = a d - b c

Eigenschaften von ( $2 \times 2$ ):

$det (I) = 1$
$det ([\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]) = det ([\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix}]) (- 1) = det ([\begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix}]) (- 1)$
$det (λ A) = λ det (A)$
$det ([\begin{matrix} a + α & b + β \\ c & d \end{matrix}]) = det ([\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]) + det ([\begin{matrix} α & β \\ c & d \end{matrix}])$

6.1 Definition und Eigenschaften

Def 6.1.0.1. Multilineare Abbildung

Seien 𝑉 und 𝑊 zwei lineare Räume.
$f : V \to W$ ist eine lineare Abbildung falls $f (λ x + μ y) = λ f (x) + μ f (y)$ .
$g : V \times V \to W$ ist eine bilineare Abbildung falls $g$ linear in jedem der beiden Argumente ist.
$h : V \times V \times \dots \times V \to W$ ist eine multilineare Abbildung falls $h$ linear in jedem Argument ist.

Def 6.1.0.3 Determinante

Die Determinante ist eine Funktion

det : \underset{n}{\underset{⏟}{R^{n} \times R^{n} \times \dots \times R^{n}}} \to R

mit folgenden Eigenschaften

(D1) $det (I_{n}) = 1$
(D2) $det$ wechselt das Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden (Antisymmetrie)
(D3) $det$ ist linear in jeder Zeile und Spalte:

\begin{aligned} det [\begin{array}{c} t a & t b \\ c & d \end{array}] & = t \cdot [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] \\ det [\begin{array}{c} a + \tilde{a} & b + \tilde{b} \\ c & d \end{array}] & = det [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] + det [\begin{array}{c} \tilde{a} & b t i l d e \\ c & d \end{array}] \end{aligned}

Bem

$D 1 - D 3$ beschreibt eine eindeutige Abbildung
In der Praxis ist die Def. schwierig anwendbar, aber wir können folgende Eigenschaften daraus herleiten:

zwei Spalten/Zeilen von $A$ identisch $⟹$ $det (A) = 0$
lin.Komb. von Zeilen von Matrix $A$ ändern die Determinante dieser Matrix nicht.
$A$ hat Nullzeilen/Nullspalten $⟹ det (A) = 0$
$A$ Dreiecksmatrix $⟹$ $det A$ ist Produkt der Diagonaleinträge
$A$ singulär (keine Inverse #todo überprüfen) $⟹$ durch Gauss-elimination entsteht Nullzeile $⟹$ wegen (6) $det (A) = 0$
- wenn A inv.bar $⟹$ $det (A) \neq 0$
$det (A B) = det (A) \cdot det (B)$
$det (A)^{- 1} = \frac{1}{det (A)}$
Entwicklung der ersten Zeile:
- wächst exponentionell für $n$ -> Gauss-elimination wächst schlimmstenfalls mit $3 n$ -> Eigenschaft nur für Handrechung gedacht (oder Theorie)

$det A = a_{11} det A_{11} - a_{12} det A_{12} + \dots + a_{1 n} det A_{1 n}$

Bsp

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{array}] \\ det (A) & = | A | = a \cdot [\begin{array}{c} e & f \\ h & j \end{array}] - b \cdot [\begin{array}{c} d & f \\ g & j \end{array}] + c \cdot [\begin{array}{c} d & e \\ g & h \end{array}] \end{aligned}

Determinante mit Gauss berechnen

Sei $A^{'}$ die obere/untere Diagonalmatrix, die mit Gauss-elimination aus $A$ hervorgeht.
Dann ist das Produkt der Diagonaleinträge = $det (A)$

ist wegen $(5)$ möglich
vertauschen von Zeilen/Spalten wechselt das Vorzeigen $(G 2)$

7 Eigenwerte

7.1 Motivation

~~emptiness~~

7.2 Eigenwerte und Eigenvektoren

Bem In diesem Kapitel arbeiten wir mit $A n \times n$ (quadratischen) Matrizen.

Sei $V$ ein linearer Raum und $A : V \to V$ lineare Abbildung.

Def 7.2.0.2. Eigenwertproblem

$λ \in C$ heisst Eigenwert der Matrix $A$ , falls es ein $x \neq 0$ gibt, sodass $A x = λ x$ .
$x$ heisst dann Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $λ$ .

#todo diagonalmatrix

Def. 7.1.0.4 Diagonalisierung

$A$ diagonalisierbar falls es gibt $S$ invertierbar sodass

A = S D S^{- 1}

Satz 7.2.0.3. Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann sind die Elemente auf der Diagonale von $D$ Eigenwerte und die Spalten von $S$ sind die entsprechenden Eigenvektoren.

A^{m} = (S D S^{- 1})^{m} = S D S^{- 1} S D S^{- 1} \dots S D S^{- 1} = S D^{m} S

Def. 7.1.0.5 Ähnlichkeit

Zwei Matrizen $A, B$ sind ähnlich, falls eine invertierbare Matrix $S$ existiert, sodass

A = S B S^{- 1}

#todo

Bem Wenn $A$ diagonalisierbar mit $A = S D S^{- 1}$ , $D = d i a g (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n})$ dann:

\begin{aligned} A & = S D S^{- 1} \\ A S & = D S & S = [s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}] \\ ⟺ {\begin{cases} A s_{1} = s_{1} λ_{1} \\ A s_{2} = s_{2} λ_{2} \\ \dots \\ A s_{n} = s_{n} λ_{n} \end{cases} \end{aligned}

Dann sind $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ EW von $A$ und $s_{1}, \dots, s_{n}$ EV von $A$

Theorem

Sei $A n \times n$ Matrix mit $n$ lin. unabhängigen EV und seien diese als Spalten einer Matrix geschrieben: $S = [s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}]$ . Dann ist

S^{- 1} A S = [\begin{matrix} λ_{1} & 0 \\ λ_{2} \\ \dots \\ 0 & λ_{n} \end{matrix}] = D

mit $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ EW von $A$ .

#todo

Theorem

Sei $A$ mit $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{k}$ EW, die sich alle unterscheiden. Dann sind die entsprechenden EV linear unabhängig.
Konsequenz: Wenn $A$ $n \times n$ Matrix hat $n$ unterschiedliche EW, dann ist $A$ diagonalisierbar.

Bem #todo
$| λ | \leq | | A | |$ fü jede $| | A | |$ aus einer Vektornorm!
(später:) $max_{λ E W} | λ | = | | A | |_{2}$
#todo

Def Gershgorin-Kreis

Für $A n \times n$ Matrix, $i = 1, 2, \dots, n$ "

D_{i} = {z \in C mit | z_{0} a_{i i} | \leq r_{i}}

wobei #todo

Def Gershgorin-Gebiet

$D_{A}=#todo$

Theorem

Alle EW von $A$ liegen in $D_{A}$ .

Bem: Es gibt für LGS $A x = 0$ nicht-triviale Lösungen $(x \neq 0) ⟺ 0$ EW von $A$ .

Bem: Wenn $0$ EW ausschliessen können, dann ist $A$ invertierbar.
-> $0 \notin D_{A} ⟹ A$ ist invertierbar

Def strikt diagonaldominant

$n \times n$ Matrix $A$ heisst strikt diagonaldominant, wenn

|a_{ii}|> |a_{i1}|+|a_{i2}|+\dots+#todo

Theorem

$A$ strikt diagonaldominant $⟹$ ( $0 \notin D_{A}$ ) $A$ invertierbar.

gilt nicht in andere Richtung

Bsp #todo (?)

komplexe EW

reele Matrizen knnen echt komplexe $E W$ haben. Diese kommen immer paarweise: $λ, \overset{―}{λ}$ sind beide $E W$ .

Bem EV ist nicht eindeutig
Sei $λ, x$ EW,EV von $A$
=> $α x$ mit $α$ beliebig auch $E V$ von $A$

#todo

Def 7.2.0.7. Charakteristische Gleichung

Um die Eigenwerte einer Matrix $A$ auszurechnen, bedienen wir uns der Gleichung

det (A - λ I) = 0

#todo

Theorem

Jedes Polynom von Grad $n$ hat $n$ Nullstelle in $C$ (mehrfache Nullstellen auch gezählt).

#todo

Satz 7.2.0.9. Existenz und Anzahl der Eigenwerte einer Matrix

Jede $n \times n$ Matrix hat mindestens einen Eigenwert und kann maximal $n$ verschiedene Eigenwerte haben.

#todo

Bem das Produkt der Pivote ist auch das Produkt der Eigenverte

Bem für $n \geq 5$ gibt es keine geschlossene Formel für die Nullstellen
-> die Eigenwerte müssen approximiert werden

#todo

Satz 7.2.0.26. Ähnliche Matrizen haben gleiche Eigenwerte

Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom. Sie haben also die gleichen Eigenwerte mit den gleichen algebraischen Multiplizitäten.

#todo

Satz 7.2.0.27. Multiplizitätsregel

Für die verschiedenen Multiplizitäten eines Eigenwerts gilt:

1 \leq G M \leq A M

#todo