Other

Bernoullische Ungleichung:

Archimedisches Prinzip

1. Logik, Mengen, Funktionen

#todo

2. Zahlen, Vektoren

#todo

3. Folgen, Reihen

3.1 Folgen, Grenzwerte

#todo Durch Struwe-Skript ergänzen

Eine Folge ist eine unendliche Liste von mathematischen Objekten

Def 3.1 Folge

$N\in \mathbb{N}$, n ist der Folgenindex

Bsp:

• harmonische Folge ${(a_n:=\frac{1}{n})}_{n\in \mathbb{N}}$
• geometrische Folge $(a_n:=z^n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$

Def 3.2 Konvergenz, Grenzwert
Für $A\in \mathbb{C}$, $a_n$ eine komplexe Folge

Man schreibt auch $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}\to A$, $a_n\to A(n\to \mathrm{\infty })$
Falls konvergiert, ist $A$ der Grenzwert (Limes)

3.2 Konvergenzkriterien

#todo Durch Struwe-Skript ergänzen

Def Beschränktheit, monotones Wachstum

• $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ ist nach oben/unten beschränkt $⟺$ die Menge $\{a_n|n\in {\mathbb{N}}_0\}$ nach oben/unten beschränkt ist.
• Wenn jedes $a_n$ kleiner/grösser als das vorherige ist, dann ist $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ monoton wachsend/steigend

Satz 3.5 Monotoniekriterium

1. Jede nach oben beschraenkte und monoton wachsende reelle Zahlenfolge $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergiert gegen $\underset{n\in {\mathbb{N}}_0}{sup}:=sup\{a_{n|n\in {\mathbb{N}}_0}\}$
2. Jede nach unten beschraenkte und monoton fallende reelle Zahlenfolge $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergiert gegen $\underset{n\in {\mathbb{N}}_0}{inf}:=inf\{a_{n|n\in {\mathbb{N}}_0}\}$

(für jede solche Folge ist der $lim$ = $sup$ bzw. $inf$)

Satz 3.7
Seien $A,B\in \mathbb{C}$, $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine nach $A$ konvergierende Folge, $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine nach $B$ konvergierende Folge

1. Die Folge $(a_n+b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergiert gegen A + B.
2. Die Folge $(a_n\ast b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ konvergiert gegen A · B.
3. Falls $B{\ne }_0$ und $b_n{\ne }_0$, für jedes n ∈ ${\mathbb{N}}_0$, dann konvergiert ${\left(\frac{a_n}{b_n}\right)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$gegen $\frac{A}{B}$ .
4. Wir nehmen an, dass $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ und $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ reelle Folgen sind und dass $a_n\le b_n$, für jedes n ∈ ${\mathbb{N}}_0$. Dann gilt A ≤ B (stimmt aber nicht für $<$ !!!)

Def 3.9 Euler'sche Zahl
Die Folge ${(1+\frac{1}{n})}^n$ konvergiert zu

3.3 Limes superior & inferior, Folgen in ${\mathbb{R}}^d$, Cauchy-Kriterium

#todo

3.4 Reihen

#todo