ETH_Physik2_Übungen

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Übungsstunden

#timestamp 2025-02-25

$\hat{a}$ oder $\hat{e_{a}}$ ist die Richtung von einem Vektor $a$ -> normiert, Betrag $1$ !
Feldlinien starten immer von positiven Ladungen aus
1. Aufgabe
- sphärische Koordinaten
- Gaus'sches Gesetz
- winkel spielen keine rolle, nur der Abstand zur Radialladung -> $E$ vor das Integral ziehen, $E$ und $A$ ist senkrecht zueinander -> $\int_{A} \vec{E} \cdot \vec{A} = E \cdot A$
#TODO -> Fläche für sphärische Koordinaten auf Spick schreiben

#timestamp 2025-03-04

Gauss'sches Gesetz vor allem bei symmetrischen Feldern anwenden
- Gauss'sches/Apers'sches Gesetz kommt (fast) immer bei Klausur
- bei planaren Symmetrie kartesiche Koordinaten verwenden, bei radialsymmetrischen Aufgaben Polarkoordinaten

#timestamp 2025-05-06

Herleitung

\begin{aligned} U_{L} & = - L \frac{d I}{d t} \\ U_{C} & = \frac{Q}{C} \\ ⟹ U_{L} & = U_{C} \\ ⟺ \frac{Q}{C} + L \frac{d I}{d t} & = 0 \\ ⟺ \frac{Q}{C} + L \frac{d^{2} Q}{d t^{2}} & = 0 \end{aligned}

Diff.gleichung

\frac{1}{C} Q + L \frac{d^{2} Q}{d t^{2}} = 0

Vergleich mit mechanischem Pendel

k x + m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = 0

$\frac{1}{C} \leftrightarrow k$ Federkonstante
$m \leftrightarrow L$ Induktivität
$R$ Widerstand/Dämpfung
Resonanzfrequenz: $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ -> $ω = \frac{1}{\sqrt{C L}}$
- Herleitung: $\frac{d^{2} Q (t)}{d t^{2}} = \frac{1}{C L} Q$ , nach 2x ableiten: $Q_{0} ω^{2} \cos (ω t + ϕ) = \frac{1}{C L} Q$ => $ω^{2} = \frac{1}{C L}$
Ansatz: $Q (t) = Q_{0} \cos (ω t + ϕ)$
daher: $I (t) = \frac{d Q (t)}{d t} = Q_{0} ω \cdot \cos (ω t + ϕ) = - \frac{Q_{0}}{\sqrt{L C}} \sin (\frac{1}{L C} t + ϕ)$
- wobei die Phasenverschiebung normalerweise $ϕ = 0$
- wobei $I_{max} = \frac{Q_{0}}{\sqrt{L C}}$
effektive Stromstärke:

\begin{aligned} I_{e f f} & = \sqrt{⟨ I^{2} ⟩} & ,wobei: \\ ⟨ f ⟩ & = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t & das zeitliche Mittel ist \\ d.h.: ⟨ I^{2} ⟩ & = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{max}^{2} \cdot \sin^{2} (ω t) d t \\ = \frac{I_{max}^{2}}{T} \int_{0}^{T} \cdot \sin^{2} (ω t) d t = \dots = \frac{I_{max}^{2}}{2} \end{aligned}

Energien

\begin{aligned} E_{e l} & = \frac{1}{2} C U^{2} = \dots = \frac{1}{2} \\ E_{m a g} & = \frac{1}{2} L I^{2} = \dots \end{aligned}

#timestamp

integrale Darstellung:

\begin{aligned} 1. & \oint_{A} \vec{E} d \vec{A} = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} ρ d V = \frac{Q_{innen}}{ϵ_{0}} \\ 2. & \oint_{A} \vec{B} d \vec{A} = 0 \\ 3. & \oint_{C} \vec{E} d \vec{s} = - \frac{d}{d t} \int_{A} \vec{B} d \vec{A} \\ 4. & \oint_{C} \vec{B} d \vec{s} = μ_{0} I + μ_{0} ϵ_{0} \int_{A} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} d A \end{aligned}

Ladungen generieren elektrisches Feld
keine Elektrischen Monopole existieren
zeitliche Veränderung von Magnetfeld erzeugt elektrisches Feld - Faraday'sches Gesetz
Amper'sches Gesetz

umwandeln mit

\oint_{A} \vec{a} d \vec{A} = \int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{a} d V = \int_{V} div \vec{a} d V

mit Nabla $\nabla$

\begin{aligned} \vec{\nabla} \vec{a} & = div. \vec{a} \\ \vec{\nabla} ϕ & = grad ϕ \\ \vec{\nabla} \times \vec{a} & = rot \vec{a} \end{aligned}

\oint_{C} \vec{a} d \vec{s} = \int_{A} \vec{\nabla} \times \vec{a} d \vec{A} = \int_{A} rot \vec{a} d \vec{A}

zu diferentieller Form:

\begin{aligned} 1. & \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ 2. & \vec{\nabla} \vec{B} = 0 \\ 3. & \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ 4. & \vec{\nabla} \times \vec{B} = μ_{0} (\vec{j} + ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) \end{aligned}

Herleitung für (1):

\begin{aligned} \oint_{A} \vec{E} d \vec{A} = \int_{V} div \vec{E} d V = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} ρ d V \\ ⟹ & div \vec{E} = \vec{\nabla} \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{aligned}

Bsp:

\begin{array}{r} \vec{E} (\vec{r}, t) = \vec{E} (z, t) = E (z, t) {\vec{e}}_{x} \\ Richtung \vec{B}, \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ? \end{array}

\vec{\nabla} \times \vec{E} = \dots = [\begin{matrix} 0 \\ \frac{\partial E_{x}}{\partial z} \\ 0 \end{matrix}] = \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

B ∥ {\vec{e}}_{y}

elektromagnetische Welle (3. und 4. Gleichung)

\begin{aligned} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} \times (- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}) & (3.) \\ = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{B} \\ = & - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \vec{E} & (4.) \end{aligned}

und

\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \underset{= 0 im Vakuum}{\underset{⏟}{\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E})}} - \underset{{\vec{\nabla}}^{2}}{\underset{⏟}{Δ}} \vec{E}

und daher:

\begin{aligned} Δ \vec{E} & = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} \\ Δ \vec{B} & = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} \\ \vec{E} (x, t) & = E_{0} \cos (k x - ω t) \end{aligned}

und

k (ω) = \sqrt{μ_{0} ϵ_{0}} \cdot ω = \frac{ω}{c}, c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ϵ_{0}}}

Bemerkung

Δ \vec{E} = \frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E}{\partial z^{2}}

#timestamp 2025-05-20

Lichtgesch. vacuum. $\approx 299 000 \frac{k m}{s}$
- Meter ist darüber definiert

Reflexion

Brechung

n_{1} \sin (α_{1}) = n_{2} \sin (α_{2})

\begin{aligned} ⟹ & n_{1} \sin (α_{1}) = n_{2} \cdot 1 \\ ⟺ & α_{c r i t} = \sin^{- 1} (\frac{n_{2}}{n_{1}}) \end{aligned}

[bild 4]
[bild 5]