ETH_KomplexeAnalysis

links - Koma

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Info

Skript: [[koma_script.pdf]] (aus vorherigem Jahr; veraltet, aber mit besserer Formatierung)
Übungen

Prüfung

MM Prüfung (@2025-08-22@16:00)
digital, mit Stack+MC-Aufgaben
2 Stunden
BYOD
6 themen mit gleicher Punktegewichtung
1. komplexe zahlen/funktionen
2. 3
3. 3
4. Residuuensatz und Anwendung
5. Fourier Reihen und Fourier Transformationen
6. Laplace Transformationen
jeder Themenbereich mit Stack- und multiple-choice-aufgaben
- multiple-choice-aufgaben im Format KPrim
Fragestunden (auf Zoom, wenn möglich im Forum stellen):
- Fragestunden Meike Akveld 10-11 (@2025-07-07 10:00)
- FragenstundenChristian Urech 10-11 (@2025-08-07@10:00)
Prüfungssammlung: exams.vmp.ch (vollständiger) / exams.amiv.ch (mehr Lösungen)

Cheatsheet

Hilfsmittel Koma

Übungen

Osterferien

Koma Serie 10 (@2025-05-02@07:00)
- Aufgabe 2) nicht gelöst
Koma Serie 11 (@2025-05-09@07:00)
Koma Serie 12 (@2025-05-16@07:00)
- Aufgabe 4) lösen
Koma Serie 13 (@2025-05-23 07:00)
Koma Serie 14 (@2025-05-30 07:00)

Koma Bonus 1 (@2025-02-26@12:00)
Koma Bonus 2 (@2025-02-26@12:00)
Koma Bonus 3 (@2025-03-05 12:00)
Koma Bonus 4 (@2025-03-12 12:00)
Koma Bonus 5 (@2025-03-19@12:00)
Koma Bonus 6 (@2025-03-26@12:00)
Koma Bonus 7 (@2025-04-02 12:00)
Koma Bonus 8 (@2025-04-09 12:00)
Koma Bonus 9 (@2025-04-16@12:00)

Osterferien

Koma Bonus 10 (@2025-04-30@12:00)
Koma Bonus 11 (@2025-05-07 12:00)
Koma Bonus 12 (@2025-05-14@12:00)
Koma Bonus 13 (@2025-05-21@12:00)
Koma Bonus 14 (@2025-05-28@12:00)

#timestamp 2025-02-19

#timestamp 2025-02-26

#timestamp 2025-03-05

#timestamp 2025-04-02

Falls $f$ und $\overset{―}{f}$ holomorph ist => $f$ ist const.

Beweis
wir wissen, dass $f$ und $\overset{―}{f}$ die CR-Gleichungen erfüllen. Setzt man sie gleich, erhält man

\begin{aligned} f (x + i y) & = u (x, y) + i v (x, y) \\ ⟹ \frac{δ u}{δ x} = \frac{δ v}{δ y}, \frac{δ v}{δ y} = - \frac{δ v}{δ x} & (CR-gleichungen) \\ \overset{―}{f (x + i y)} & = u^{'} (x, y) + i v^{'} (x, y) \\ ⟹ \frac{δ u^{'}}{δ x} = \frac{δ v^{'}}{δ y}, \frac{δ v^{'}}{δ y} = - \frac{δ v^{'}}{δ x} & (CR-gleichungen) \\ \dot{⟹} \frac{δ v}{δ y} = - \frac{δ v}{δ y}; \frac{δ v}{δ x} = - \frac{δ v}{δ x} \end{aligned}

für $v$

\begin{aligned} \dot{⟹} & \frac{δ v}{δ y} = 0; \frac{δ v}{δ x} = 0 \\ \dot{⟹} & v const. \end{aligned}

Wenn man das in die CR-Gleichungen für $u$ einsetzt, sieht man, dass $u$ auch $c o n s t .$ ist.
Da $v$ und $u$ const. sind, ist $f$ const. $◻$

#timestamp 2025-04-03

ganze Funktion $:=$ holomorphe Funktion auf ganz $C$

#timestamp 2025-05-08

gerade Funktionen können nur durch gerade Funktionen dargestellt, ungerade durch ungerade
-> cos can nicht durch sin dargestellt werden

#timestamp 2025-05-22

Bem zu Laplace-Eigenschaften (5.2), Eigenschaft 4:

Falls $f, f^{'}, \dots, f^{(n - 1)}$ stetig sind in 0:

L [f^{(n)}] (s) = s^{n} L [f] (s) - s^{n - 1} f (0) - s^{n - 2} f^{'} (0) - \dots - f^{(n - 1)} (0)

insbesondere

L [f^{'}] (s) = s L [f] (s) - f (0)

Bsp:
Sei $f (t) = t e^{- t}$
Berechne $L [3 f^{'} - f] (s) = 0$

\begin{aligned} L [f] (s) & = L [t e^{- t}] (s) \underset{2}{\underset{⏟}{=}} L [t] (s + 1) = \frac{1}{(s + 1)^{2}} & da L [t] (s) = \frac{1}{s^{2}} \\ L [f^{'}] (s) & = s L [f] - f (0) = \frac{s}{(s + 1)^{2}} - 0 \\ ⟹ & = 3 L [f^{'}] (s) - L [f] (s) \\ = \frac{3 s}{(s + 1)^{2}} - \frac{1}{(s + 1)^{2}} = \frac{3 (s - 1)}{(s + 1)^{2}} \end{aligned}