ETH_Analysis2_Vorlesung

links - Analysis II

Seite: https://metaphor.ethz.ch/x/2025/fs/401-0232-10L/
Exercises: https://metaphor.ethz.ch/x/2025/fs/401-0232-10L/Zeitplan.html
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Übungen

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jede zweite Woche; vollen Notenbonus mit maximal 1. Quiz vollständig falsch

Prüfung

exams.amiv

Hilfsmittel Analysis

8 A4-Seiten
- von Hand auf Papier

Serien

Osterferien: 18.04-27.04

Übung	Musterlösung	Lösung	Korrektur
		[[20240305_Analysis2_Serie0_dpetrovic.pdf]]
		[[20250220_Analysis2_Serie1.pdf]]
		[[20240305_Analysis2_Serie2_dpetrovic.pdf]]
		[[20250317_Analysis2_Serie3_dpetrovic.pdf]]
		[[20250327_Analysis2_Serie4_dpetrovic.pdf]]
		[[20250327_Analysis2_Serie5_dpetrovic.pdf]]

		[[20250404_Analysis2_Serie7_dpetrovic.pdf]]
		[[20250418_Analysis2_Serie8_dpetrovic.pdf]]

Prüfung

Prüfungssammlung: exams.amiv
https://eduapp.ethz.ch/mgmt/https://eduapp.ethz.ch/mgmt/

Vorlesung

#timestamp 2025-03-25

Pasted image 20250327162841.png

Lösung:
Lagrange-Multiplikatorenregel:

g : R^{2} \to R, g (x) = x_{1}^{4} + x_{2}^{4} - 1, M = g^{- 1} (0)

F : R^{2} \to R, F (x) := x_{1} + x_{2}

Lagrange-funktion:

L : \underset{x \in}{\underset{⏟}{R^{2} \times}} \underset{λ}{\underset{⏟}{R}} \to R, L (x, λ) = F (x) - λ^{⊤} g (x)

Satz (LMR): $x_{0} \in\text{Crit}~f \iff $

#todo fertigschreiben aus Vorlesungsaufzeichnung

#timestamp 2025-04-17

recap Satz von Stokes
- Herleitung des Faraday'schen Induktionsgesetzes aus den Maxwell-Gleichungen
Divergenz
Koorientierung des Randes

#todo [skizze aus vorlesungsaugzeichnung, ca. bei 40min]

-> Satz von Gauss
- Beweis des Satzes von Green
- Herleitung der 1. Maxwell-Gleichung

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

Die Gauss'sche Gleichung ist die Integrale version der Maxwell-gleichung (wobei Maxwell praktischer ist).

Vektoranalytische Linearitäten (?):

(divergenz der rotation eines Vektorveldes=0)

\nabla (\nabla \times X) = 0

#timestamp 2025-05-14

Frage 14: Integrale

Bem: DieGauss'sche Fehlerfunktion hat kein integral

f (x) = e^{- x^{2}}

#todo Analysis1/Serie 6 -> Integrale nochmals lösen
Tricks für Integrale
- Partialbruchzerlegung
- partielle Integration
- (mehrfache) Substitution, 1. und 2. (rückwärts) Art $^{*}$
- Verwendung von trigonometrischen Identitäten
- bei rationalen Funktionen mit $\sin / \cos$ kann man $\tan (\frac{x}{2})$ Substituieren:

t (x) = \tan (\frac{x}{2}), t^{'} = \frac{1 + t^{2}}{2}, \cos = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \sin = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

- falls Integrand = rationaler ausdruck in $\cos^{2}, \sin^{2}$ . $s = \tan, s^{'} = 1 + s^{2}$

Bem: $^{*}$ Substitution 2. Art:

\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (u)} \cos (u) d u = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (u) d u = a_{1} = \frac{1}{2} a_{0} = \frac{π}{4}

mit

F (u) := \sin (u), \frac{d x}{d u} = \cos (u)

Bem: Achtung! $1 - \sin^{2}$ kann auch $- \cos$ werden, wenn Intervallgrenzen ihn nicht positiv machen:
Bem:

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n}, a_{0} = \frac{π}{2}, a_{k} = a_{k - 1} \frac{2 k - 1}{2 k}

Bem: elliptisches Integral, kann nicht durch Formel ausgedrückt werden

k \in (0, 1), K (k) = \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - k^{2} x^{2})}}

Bem: https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcii/integrationStrategy.aspx

Strategien zur Berechnung von $\int$ :
1. Integranden vereinfachen
2. Stammfunktion erraten, Bsp: $\cos \cdot e^{\sin (x)}$

\begin{aligned} allgemein: & \int \frac{\dot{F}}{F} = \log | F | + C \\ bsp: & \int \frac{2 x}{1 + x^{2}}, F (x) = 1 + x^{2}, \int = (x \mapsto \log | 1 + x^{2} |) + C \end{aligned}

3. Produkt $\int f \cdot g$ -> part. Int
4. rationale Funktion: Partialbruchzerlegung
5. Ausdruck in $e^{c \cdot}$ , $F = e^{c \cdot}$
6. rationaler Ausdruck in sin, cos -> $F = t = \tan (\frac{\cdot}{2})$ , $F = \tan, \cos, \sin$
7. $\sqrt{a^{2} - x^{2}} : F := a \sin$ (Analysis1, Serien 12...,13)

Frage 16: weitere Aufgaben

Buch von Blatter
Skript von Struwe
Serien sind für Prüfung zugschnitten -> *-Aufgaben werden (teilweise, vielleicht) in der Prüfung auftauchen

Frage 17: Tangentialfeld

Aufgabe 9.1)

$ψ \neq$ Tangentialfeld
Musterlösung zu $8.3$ : abgeschnittenes Paraboloid, Normalenvektor $ν$ an stelle $x$ gesucht

$ψ : {\overset{―}{B}}_{r_{0}^{2}} \to R^{3}, ψ (y_{1}, y_{2}) = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \frac{1}{2} (y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \end{matrix})$

ν (ψ (y)) = \frac{\partial_{y_{1}} ψ (y) \times \partial_{y_{2}} ψ (y)}{| | \partial_{y_{1}} ψ (y) \times \partial_{y_{2}} ψ (y) | |}

#timestamp 2025-05-21

methoden für Parametrisierung:

Parametrisierung ablesen

\begin{aligned} \frac{1}{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = x_{3} \\ ⟹ & ψ (y_{1}, y_{2}) = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \frac{1}{2} (y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \end{array}) \end{aligned}

$g (x)$ nach einer Koordinate auflösen, z.B. $x_{3}$ falls

\begin{aligned} Σ = g^{- 1} (0) = {x \in R^{3} | g (x) = 0} \end{aligned}

Bsp:

\begin{aligned} g : R^{3} \to R, g (x) := \underset{= 0, x_{1^{2}} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}{\underset{⏟}{| | x | |^{2}}} - 1 \\ Σ = g^{- 1} (0) = S^{2} \\ x_{3} = \pm \sqrt{1 - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}, ψ (y) := (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \sqrt{1 - (y_{1}^{2} + y_{2}^{2})} \end{array}) \end{aligned}